Probability on M1KE BL0G

JISの統計の表記法

Sun, 13 Sep 2026 22:43:28 +0900

背景

JISで統計の用語や表記法が定義されているらしいのでAIに調べてもらったログ
$\mathrm{V}[X]$と書いたり、$Var[X]$と書いたり、$σ^2$と書いたり色々な表記法があるため気になっていたから

規格の全体像

統計まわりのJISは大きく2系統あり、役割が異なる。

JIS Z 8101シリーズ：統計・確率の用語と記号そのものを定義する規格。ISO 3534シリーズと一致（IDT）
- JIS Z 8101-1：一般統計用語及び確率で用いられる用語
- JIS Z 8101-2：統計の応用（サンプリング・推定・検定・品質管理）
JIS Z 9041シリーズ：現場（工場・実験室）でデータをどう記述・推定・検定するかという実務手順を定めた規格。用語の定義はZ 8101シリーズに準拠すると明記されている
- JIS Z 9041-1：データの統計的記述
- JIS Z 9041-2：平均と分散に関する検定・推定
- JIS Z 9041-3：比率に関する検定・推定
- JIS Z 9041-4：平均と分散に関する検定の検出力

つまり「記号の意味を定義する辞書」がZ 8101、「その記号を使って実際どう計算するかの手順書」がZ 9041、という関係。

JIS Z 8101-1：確率で用いられる用語・記号

理論上の確率変数・分布に関する記号。

項目番号	用語	記号	定義
2.5	事象$A$の確率	$P(A)$	事象に割り当てられる$[0,1]$の実数
2.6	条件付き確率	$P(A \mid B)$	$A$と$B$の共通部分の確率を$B$の確率で割ったもの
2.10	確率変数	$X$	標本空間上で定義された実ベクトル値関数
2.7	分布関数	$F(x)$	事象$(-\infty, x]$の確率を与える$x$の関数
2.26	確率密度関数	$f(x)$	連続分布の分布関数の被積分関数
2.12	期待値	$E[g(X)]$	確率変数の関数の確率測度に関する積分（角括弧）
2.35	母平均	$\mu$	確率密度関数と$x$の積の積分
2.36	母分散	$V$（$V(X)$）	中心化確率分布の2次モーメント。$V(X)=E\{[X-E(X)]^2\}$
2.37	標準偏差	$\sigma$	母分散の非負の平方根
2.43	共分散	$\sigma_{XY}$	二つの中心化確率変数の積の平均
2.13	$p$分位点	$X_p$	分布関数が$p$以上になる$x$の下限
2.14	メディアン	—	0.5分位点
2.27	モード（最頻値）	—	確率密度関数が局所的に最大となる値
2.31	中心化確率変数	—	確率変数から母平均を引いたもの
2.33	標準化確率変数	—	母標準偏差が1である中心化確率変数
2.4	独立事象	—	共通部分の確率が個別確率の積になる事象の対
2.9	母数（パラメータ）	—	分布族のインデックス

期待値はE[g(X)]と角括弧、分散はV(X)と丸括弧で表記される（表記が統一されていない点は少し紛らわしい）
標準偏差はD(X)ではなく$\sigma$（$D(X)$という記号自体は定義されていない）
二項分布・正規分布・ポアソン分布・t分布・F分布・カイ二乗分布・指数分布・ベータ分布・ワイブル分布などの代表的な分布も、この規格内で名称と定義（密度関数の式など）が与えられている

同じ規格内にある「標本」統計量の記号（第1章）

Z 8101-1の第1章では、観測データそのものから計算する統計量の記号も定義されている。

項目番号	用語	記号	定義
1.15	標本平均	$\bar{x}$	ランダムサンプルの和を個数で割った量
1.16	標本分散	$S^2$	標本平均からの偏差2乗和を（サンプルサイズ$-1$）で割った量
1.17	標本標準偏差	$S$	標本分散の非負の平方根
1.13	標本メディアン	—	奇数$n$なら中央の値、偶数なら中央2値の平均
1.14	標本モーメント	$E(X^k)$	確率変数の$k$乗の和を観測値数で割った量
1.20	標本歪度	—	標準化標本確率変数の3乗の算術平均
1.21	標本尖度	—	標準化標本確率変数の4乗の算術平均
1.23	標本相関係数	$r_{xy}$	標本共分散を対応する標本標準偏差の積で割った量

JIS Z 8101-2：統計の応用（サンプリング・推定・検定）

ISO 3534-2に一致。サンプリングや品質管理の現場で使う用語・記号。

項目番号	用語	記号	定義
1.2.17	サンプル	—	一つ以上のサンプリング単位からなる母集団の部分集合
1.2.14	サンプリング単位	—	母集団を分割した実質的な最小単位
1.2.26	サンプルサイズ	—	サンプル中のサンプリング単位の数
1.3.4	単純ランダムサンプリング	—	$n$個の全ての組合せが同じ確率で抽出される方法
1.2.2	母集団パラメータ	$\mu, \sigma$	母集団のある特性を要約する量
1.2.18	標本統計量	$\bar{X}, S$	サンプルから得た観測値を要約する量
2.6.2	プロセスパフォーマンス指数	$P_p$	規格幅に対応したパフォーマンスを表す指数
4.6.1	合格の確率	$P_a$	定めた抜取方式でロットが合格となる確率
4.6.2	消費者危険	$\beta$	不満足品質で合格となる確率
4.6.4	生産者危険	$\alpha$	合格品質で不合格となる確率

JIS Z 9041-1：データの統計的記述の記号

こちらは理論的な確率変数の話ではなく、工場や実験室で実際に測定したデータをどう記述するかという実務規格。3.2「記号」に以下がまとめられている。

記号	意味	定義・計算式
$f$	度数	各級に属する測定値の出現度数
$x$	測定値	個々の値は$x_1, x_2, x_3, \dots$
$x_{(i)}$	順序統計量	測定値を大きさ順に並べた第$i$番目
$\tilde{x}$	メディアン	中央に位置する値
$x_{\max}, x_{\min}$	最大値・最小値	測定値の最大値・最小値
$S$	平方和	$\sum(x_i-\bar{x})^2$
$S(x,y)$	積和（2変数）	$\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$
$V$	不偏分散	$S/(n-1)$
$h$	級の幅	度数分布における階級幅
$C_p$	工程能力指数	工程のばらつきを規格幅と比較する指数

混同しやすいポイント

同じアルファベットが規格をまたぐと意味が変わってしまう例がある。

$S$：Z 8101-1では「標本標準偏差」だが、Z 9041-1では「平方和（標準偏差ではない）」を指す
$V$：Z 8101-1では「母分散」（確率変数の理論的な分散）だが、Z 9041-1では「不偏分散」＝$S/(n-1)$（標本から計算した推定値）を指す
期待値・分散の括弧：期待値はE[ ]（角括弧）、分散はV( )（丸括弧）と、同じ規格内でも記号の種類が揃っていない

理論の話（確率変数・母集団のパラメータ）をしているのか、実データから計算した統計量の話をしているのかを区別すれば、この手の記号の衝突は避けやすい。

まとめ

統計まわりのJISは「用語・記号を定義するZ 8101」と「実務手順を定めるZ 9041」の2系統に分かれている
Z 8101はさらに、理論的な確率変数の記号（第2章）と、データから計算する標本統計量の記号（第1章）を1つの規格内に含んでいる
$S$や$V$のように、規格をまたぐと同じ記号が別の意味で使われている箇所があるので、どの規格・どの文脈の記号かを意識する必要がある

参考文献

確率分布のまとめ

Fri, 20 Oct 2023 21:32:47 +0900

背景

AIを使って、確率分布の特性についてまとめた

離散分布（Discrete Distribution）

とりうる値が飛び飛びである確率変数（離散型確率変数）の分布。

ベルヌーイ分布（Bernoulli Distribution）

成功確率$p$で1、失敗確率$1-p$で0を取る、最も単純な分布
定義

$$ P(X=1)=p, \quad P(X=0)=1-p $$

期待値・分散

$$ E(X)=p, \quad V(X)=p(1-p) $$

例: コインを1回投げて表が出るかどうか

二項分布（Binomial Distribution）

ベルヌーイ試行を独立に$n$回繰り返したときの「成功回数」の分布
定義

$$ P(X=r) = {}_nC_r \, p^r (1-p)^{n-r} \quad (r=0,1,\dots,n) $$

期待値・分散

$$ E(X)=np, \quad V(X)=np(1-p) $$

表記: $X \sim \mathrm{Binomial}(n,p)$
例: コインを$n$回投げて表が出る回数、当たり確率$p$のくじを$n$回引いて当たる回数

ポアソン分布（Poisson Distribution）

単位時間・単位面積あたりに平均$\lambda$回起こる稀な事象の「発生回数」の分布
定義

$$ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \quad (k=0,1,2,\dots) $$

期待値・分散

$$ E(X)=\lambda, \quad V(X)=\lambda $$

表記: $X \sim \mathrm{Poisson}(\lambda)$
二項分布で$n \to \infty$、$np=\lambda$を一定に保った極限にあたる（ポアソンの少数の法則）
例: 1時間あたりの窓口への来客数、1ページあたりの誤植の数

幾何分布（Geometric Distribution）

成功確率$p$のベルヌーイ試行を繰り返すとき、「初めて成功するまでの試行回数」の分布
定義

$$ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p \quad (k=1,2,3,\dots) $$

期待値・分散

$$ E(X) = \frac{1}{p}, \quad V(X) = \frac{1-p}{p^2} $$

例: サイコロを振り続けて初めて6が出るまでの回数

連続分布（Continuous Distribution）

とりうる値が連続的な確率変数の分布。確率は密度関数（PDF）を積分して求める。

一様分布（Uniform Distribution）

区間$[a,b]$のどこでも同じ密度で値を取る、最も単純な連続分布
定義

$$ f(x) = \frac{1}{b-a} \quad (a \le x \le b) $$

期待値・分散

$$ E(X)=\frac{a+b}{2}, \quad V(X)=\frac{(b-a)^2}{12} $$

表記: $X \sim U(a,b)$

指数分布（Exponential Distribution）

ポアソン過程における「次の事象が起こるまでの待ち時間」の分布
定義

$$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x \ge 0) $$

期待値・分散

$$ E(X) = \frac{1}{\lambda}, \quad V(X) = \frac{1}{\lambda^2} $$

「無記憶性」を持つ唯一の連続分布（すでに$t$秒待ったという事実が、その後の待ち時間の分布に影響しない）
例: 電球の寿命、次の地震が起こるまでの時間

正規分布（Normal Distribution）

独立な要因の合計・平均が近づいていく分布（中心極限定理）。統計で最も重要な分布
定義

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) $$

期待値・分散

$$ E(X)=\mu, \quad V(X)=\sigma^2 $$

表記: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。$\mu=0, \sigma^2=1$のものを標準正規分布と呼ぶ
$\chi^2$分布・t分布・F分布は、いずれも正規分布から具体的な変換で導出できる

ガンマ分布（Gamma Distribution）

指数分布に従う事象が「$k$回起こるまでの待ち時間」の分布（指数分布の一般化）
定義

$$ f(x) = \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^{k-1} e^{-\lambda x} \quad (x \ge 0) $$

期待値・分散

$$ E(X) = \frac{k}{\lambda}, \quad V(X) = \frac{k}{\lambda^2} $$

形状パラメータ$k=1$のとき指数分布に一致する（特殊ケース）
ポアソン分布の尤度に対する共役事前分布として、ベイズ統計でもよく登場する

ベータ分布（Beta Distribution）

区間$[0,1]$上に定義される分布で、「確率そのもの」を確率変数として扱うときによく使われる
定義

$$ f(x) = \frac{1}{B(\alpha,\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \quad (0 \le x \le 1) $$

期待値・分散

$$ E(X) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}, \quad V(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} $$

パラメータが両方1のとき一様分布$U(0,1)$に一致する（特殊ケース）
二項分布の尤度に対する共役事前分布として、ベイズ統計でよく使われる

カイ二乗分布・t分布・F分布

いずれも標準正規分布から具体的な変換で導出される、検定でよく使われる分布

$$ \sum_{i=1}^{k} Z_i^2 \sim \chi^2(k), \qquad \frac{Z}{\sqrt{\chi^2(k)/k}} \sim t(k), \qquad \frac{\chi^2(d_1)/d_1}{\chi^2(d_2)/d_2} \sim F(d_1,d_2) $$

$Z \sim N(0,1)$、右辺の$\chi^2$は左辺と独立

まとめ

分布はまず「離散か連続か」「とりうる値の範囲」「何を数えている／測っているか」で見分けると、どれを使うべきか判断しやすい
二項分布・ポアソン分布・正規分布などの間の特殊ケース・変換・極限・ベイズ関係といった繋がりは「分布関係図」の記事にまとめてある

参考文献

6.2 Binomial distributions | An Introduction to Probability and Simulation

分布関係図

Fri, 20 Oct 2023 21:32:47 +0900

背景

確率分布は、正規分布・カイ二乗分布・t分布・F分布のように、それぞれ独立に暗記するものだと思われがち
しかし実際には、これらの分布は特殊ケース・変換・極限・ベイズ的な関係によって、互いに繋がったネットワークを成している
Leemis & McQuestonは、この繋がりを1枚の図にまとめた
ここでは、その図が示す関係の種類と、代表的な繋がりを整理する

Leemis & McQuestonの分布関係図

出典: Lawrence M. Leemis and Jacquelyn T. McQueston, “Univariate Distribution Relationships,” The American Statistician, Vol. 62, No. 1, pp. 45-53, February 2008
76の単変量確率分布を、10×8のマトリクス状に配置し、それらを結ぶ矢印で関係を示した図
インタラクティブ版が公開されており、各分布のPDF・CDF・モーメントの情報や、矢印をクリックすると関係の証明を確認できる

分布同士の関係の種類

図で示される矢印は、大きく4種類に分類される。

特殊ケース（Special Case）

パラメータを特定の値に固定すると、別の（より単純な）分布に一致する関係。

ガンマ分布の形状パラメータを1にすると指数分布になる
t分布の自由度を1にするとコーシー分布になる
ベータ分布のパラメータを両方1にすると一様分布$U(0,1)$になる

変換（Transformation）

ある分布に従う確率変数を変換すると、別の分布に従うようになる関係。

$Z \sim N(0,1)$のとき、$Z^2 \sim \chi^2(1)$
$X$が指数分布に従うとき、$X^{1/k}$はワイブル分布に従う

極限分布（Limiting Distribution）

パラメータを極限に飛ばすと、別の分布に近づいていく関係。

二項分布$\mathrm{Binomial}(n,p)$で、$n \to \infty$かつ$np=\lambda$を一定に保つと、ポアソン分布$\mathrm{Poisson}(\lambda)$に近づく（ポアソンの少数の法則）
中心極限定理により、二項分布・ポアソン分布・ガンマ分布など、多くの分布はパラメータを大きくすると正規分布に近づく
t分布は、自由度を$\infty$に飛ばすと標準正規分布に近づく

ベイズ関係（Bayesian Relationship）

ある尤度に対して、特定の分布を事前分布に選ぶと、事後分布が事前分布と同じ分布族になるという関係（共役性）。

二項分布の尤度に対して、ベータ分布は共役事前分布になる
ポアソン分布の尤度に対して、ガンマ分布は共役事前分布になる
分散既知の正規分布の尤度に対して、正規分布は共役事前分布になる

正規分布からχ²・t・Fへ

検定でよく使われる3つの分布（$\chi^2$分布・t分布・F分布）は、いずれも標準正規分布から具体的な変換で導出できる。この繋がりを順番に追ってみる。

まず、標準正規分布に従う独立な確率変数$Z_1, \ldots, Z_k$を用意する。

$$ Z_i \sim N(0,1) \quad (i=1,\ldots,k) $$

これらの二乗和が、自由度$k$のカイ二乗分布に従う。

$$ \sum_{i=1}^{k} Z_i^2 \sim \chi^2(k) $$

標準正規分布に従う$Z$と、独立な$\chi^2(k)$を組み合わせると、自由度$k$のt分布が得られる。

$$ \frac{Z}{\sqrt{\chi^2(k)/k}} \sim t(k) $$

独立な2つのカイ二乗分布の比を取ると、F分布が得られる。

$$ \frac{\chi^2(d_1)/d_1}{\chi^2(d_2)/d_2} \sim F(d_1, d_2) $$

さらに、t分布とF分布の間にも直接の関係がある。

$$ t(k)^2 \sim F(1,k) $$

つまり、正規分布1つから出発して、二乗和・比という単純な演算を積み重ねるだけで、検定でよく使う分布が芋づる式に導出できる。

まとめ

確率分布は、個別に暗記する対象というより、特殊ケース・変換・極限・ベイズ関係で相互に繋がったネットワークとして理解すると見通しが良い
正規分布を起点に、二乗和・比といった具体的な演算を追うだけで、$\chi^2$・t・F分布が導出できる
Leemis & McQuestonの分布関係図は、こうした繋がりを俯瞰するための地図として、統計を学ぶ上でかなり有用

参考文献

Leemis, L.M. and McQueston, J.T. (2008). “Univariate Distribution Relationships.” The American Statistician, Vol. 62, No. 1, pp. 45-53.
Univariate Distribution Relationship Chart（インタラクティブ版）
Univariate Distribution Relationships - about