確率の復習

背景

プログラムでの計算で確率を使うことは多い
しかし、高校の時にやった確率をほとんど忘れてしまった
すると計算が必要な時に困るので改めて復習した
また、データ処理で特に間違いやすかったメモも入れた

確率

全体像

「確率」は、大きく分けると次の流れで進む

場合の数（数え方）
基本的な確率（数え方の比）
独立な試行・反復試行
条件付き確率

場合の数

事象

事象とは、試行（サイコロを振る、カードを引く等）の結果として起こりうる事柄のこと
例えば「サイコロを振って偶数の目が出る」も1つの事象
事象$A$・事象$B$のように、アルファベットで名前をつけて表すことが多い

樹形図

場合の数を数える基本は、樹形図で枝分かれを全て書き出すこと
樹形図を一般化した数え方が、次の和の法則と積の法則

和の法則

事象$A$がm通り、事象$B$がn通りで、$A$と$B$が同時には起こらないとき
$A$または$B$の起こり方は$m+n$通り

積の法則

事象$A$の起こり方がm通り
その各々に対して事象$B$の起こり方がn通り
$A$の後に$B$が続けて起こる場合の数は$m \times n$通り
例: サイコロを2回振るときの目の出方は、$6 \times 6 = 36$通り（積の法則）

階乗

$n!$は、$n$から$1$までを全て掛け合わせたもの
定義は以下

$$ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1 $$

便宜上、$0! = 1$と定義される

順列

順列（Permutation）の定義

異なる$n$個から$r$個を選んで、順序をつけて並べる場合の数
定義は以下

$$ {}_nP_r = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!} $$

並び方が違えば別の場合として数える
例: A・B・Cの3人から2人を選んで1列に並べる場合、AB・BA・AC・CA・BC・CBの6通り（${}_3P_2 = 6$）

例：順列

問題: 1〜9の数字が1つずつ書かれた9枚のカードから3枚を選んで並べ、3桁の整数を作る。何通りできるか？
「9個から3個選んで順序をつけて並べる」ので、そのまま順列の定義に当てはまる

$$ {}_9P_3 = 9 \times 8 \times 7 = 504 $$

百の位・十の位・一の位の順に「使えるカードの枚数」を掛けているのと同じこと
- 百の位: 9枚から選べる
- 十の位: 百の位で1枚使った残り8枚から選べる
- 一の位: さらに残り7枚から選べる
この「1つ選ぶごとに選択肢が1つ減っていく」感覚が、そのまま${}_nP_r$の掛け算の中身になっている

同じものを含む順列

$n$個のうち、同じものがそれぞれ$p$個、$q$個、$r$個…ずつ含まれるときの並べ方
定義は以下

$$ \frac{n!}{p! \, q! \, r! \cdots} $$

全部を区別して並べる${}_nP_n = n!$通りから、同じもの同士の並び替え分を割って重複を消しているイメージ

組み合わせ

組み合わせ（Combination）の定義

異なる$n$個から$r$個を選ぶ場合の数（順序は区別しない）
定義は以下

$$ {}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{{}_nP_r}{r!} $$

順列${}_nP_r$を、選んだ$r$個の並び替え分（$r!$通り）で割ったものがCのイメージ
例: A・B・Cの3人から2人を選ぶだけなら、AB・AC・BCの3通り（${}_3C_2 = 3$）、並び順は数えない

例：組合せを使った基本的な確率

問題: 22台の製品のうち3台が故障している。無作為に2台取り出すとき、ちょうど1台が故障している確率は？
全体の場合の数（22台から2台選ぶ）

$$ {}_{22}C_2 = \frac{22 \times 21}{2} = 231 $$

条件を満たす場合の数（故障3台から1台、正常19台から1台をそれぞれ選ぶ）

$$ {}_3C_1 \times {}_{19}C_1 = 3 \times 19 = 57 $$

求める確率は以下

$$ \frac{57}{231} = \frac{19}{77} $$

ポイントは、「故障からr台・正常から残りを選ぶ」と分けて、それぞれ組合せで数えてから割ること

表記の違い

高校では${}_nC_r$と書くが、大学以降や海外の教科書では二項係数の表記を使うことが多い
定義は同じで、記号が違うだけ

$$ \binom{n}{r} = {}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

読み方は「$n$ choose $r$」（$n$個から$r$個選ぶ）
縦に$n$、$r$を並べて大きい括弧で囲む書き方で、割り算の記号は書かない

基本的な確率の求め方

全ての場合が同様に確からしいとき、事象$A$の確率は以下

$$ P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} $$

$n(A)$は事象$A$の場合の数、$n(U)$は全体（全事象）の場合の数
サイコロ・コイン・カード・くじのような「全パターンのうち何パターンが条件に合うか」を、前述の場合の数（樹形図・和の法則・積の法則・順列・組合せ）で数えれば求まる
「少なくとも1つ」「ちょうど1つ」のような条件は、全体からどの部分を数えるかの言い換えに過ぎない

余事象

余事象の定義

事象$A$が起こらない事象を余事象と呼び、$\bar{A}$（または$A^c$）と書く
全事象の確率は1なので、以下が成り立つ

$$ P(A) + P(\bar{A}) = 1 $$

「少なくとも1つは〜」のような計算は、直接数えると場合分けが多くなりがちなので、余事象（1つも〜でない）から引く方が楽なことが多い

例：余事象を使う確率

問題: サイコロを3回振るとき、少なくとも1回は6の目が出る確率は？
直接数えると「1回だけ6」「2回だけ6」「3回とも6」を別々に足す必要があり面倒
余事象「3回とも6が出ない」を考える方が早い
1回振って6以外が出る確率は$\frac{5}{6}$なので、3回とも6が出ない確率は以下

$$ \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} $$

求める確率は、これを1から引く

$$ 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} $$

和事象と加法定理

$A$または$B$が起こる確率は以下
$A$と$B$が同時に起こる部分を二重に数えないよう、その分を引く

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

$A$と$B$が同時に起こりえない（排反）場合は$P(A \cap B) = 0$なので、以下まで単純化できる

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$

独立な試行・反復試行

独立な試行・反復試行の定義

事象$A$の結果が事象$B$の起こりやすさに一切影響しない場合、$A$と$B$は独立という
独立な場合、両方起こる確率は単純な掛け算になる

$$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$

独立でない場合は、そのまま掛け算にはできないので、後述の条件付き確率を使う
独立な試行を何度も繰り返すのが反復試行
確率$p$で起こる試行を$n$回繰り返したとき、ちょうど$r$回起こる確率は以下

$$ {}_nC_r \, p^r (1-p)^{n-r} $$

${}_nC_r$が出てくる理由は、$n$回のうち「どのタイミングで$r$回起こるか」の組み合わせの数だから
例: コインを5回投げて、ちょうど3回表が出る確率、当たり確率$p$のくじを$n$回引いて$r$回当たる確率など
この考え方をさらに一般化したものが二項分布

例：反復試行の確率（復元抽出）

問題: 箱に赤玉2個と白玉2個が入っている。1つ取り出して色を確認し、箱に戻す操作を3回繰り返すとき、赤玉がちょうど2回出る確率は？
「取り出して戻す」ので、毎回同じ条件（赤2個・白2個、計4個）で引く独立な試行になる
1回で赤が出る確率は以下

$$ p = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$

3回中ちょうど2回赤が出る確率は、反復試行の公式に$n=3, r=2, p=\frac{1}{2}$を当てはめる

$$ {}_3C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} $$

毎回箱に戻す（復元抽出）から、3回とも独立に同じ確率$\frac{1}{2}$で扱える
もし戻さない（非復元抽出）なら、回を追うごとに箱の中身が変わるので独立にならず、反復試行の公式は使えない（前述の「組合せを使った基本的な確率」のように直接数える必要がある）

条件付き確率

$B$が起こったという条件のもとで、$A$が起こる確率
定義は以下

$$ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

この式を変形すると、一般の乗法定理になる（独立でない場合もこちらを使う）

$$ P(A \cap B) = P(B) \times P(A \mid B) $$

期待値

確率変数$X$が値$x_1, x_2, \dots, x_n$を、それぞれ確率$p_1, p_2, \dots, p_n$でとるとき、期待値は以下

$$ E(X) = \sum_i x_i p_i $$

試行を何度も繰り返したときに、平均的にどれくらいの値になるかを表す指標

その他

月はカテゴリカル変数

1月〜12月を「月の区分」として扱う場合はカテゴリカル変数
月は周期的で、12月と1月は隣り合っているため、単純な数値として扱うのは適切でないことが多い
一方、「2024年1月 => 2024年2月 => …」のように時間の経過を表す場合は、年月を量的変数として扱える
つまり、月がややこしい理由は月が２つの意味を持つから
- 3月 = March（時点・カテゴリ） => カテゴリカル変数
- 3か月 = 3 months（期間・量） => 量的変数
まあ、「郵便番号」は数字だけど、カテゴリカル変数というのと同じ

クロス集計表の切り方

クロス表の分母も結構間違えがち。

例: ワクチンの有効性を説明するにはどう比較すればいいか？

-	感染した	感染しなかった	合計
ワクチン未接種	100人	900人	1000人
ワクチン接種済み	450人	8550人	9000人
合計	550人	9450人	10000人

2つの見方がある。

見方	計算	何がわかる？
A	(100/550)、(450/550)	感染した人の中で、接種・未接種がどれくらいいるか
B	(100/1000)、(450/9000)	接種した人・していない人の中で、どれくらい感染したか

この場合は、適切なのは、AではなくBとなる
理由は、Aだと、そもそも論、ワクチン接種者の方が多い可能性があり、ワクチン自体の有効性を示せないから
Bはワクチンを摂取した人の中で、という事になっている

言い換えると次になる:

A: 感染者のワクチンを接種したしていない人の“確率”を見る
B: ワクチンを接種した人と接種していない人の感染する“確率”を見る

Aだと、何人ワクチンを接種していたのかが加味されていないため、ワクチンの有効性を示す上では不適切ということ。

確率の直感の罠

例:

10の中に2つのあたりがあるくじ
AとBがいる
Aが先に引いた後に、Bが引く順番でくじを引く
Bの確率はどうなるのか？

一見、Aが引いた後に、Bが引くから確率が変わりそうだが実際は変わらない。

$$ A=2/10 B=2/10 \times 1/9 + 8/10 \times 2/9 = \frac{2+16}{90} = 18/90 = 2/10 $$

つまり、Aさんが先に引いても、Bさんが先に引いても同じということ。

ちなみに、もしAさんの結果をBさんが知れる場合は、総合的には以下になる。

Aの結果を知った場合:
- $P(Bあたり|Aあたり)1/9=0.111$
- $P(Bあたり|Aハズレ)=2/9=0.222$
Aの結果を知らない場合:
- $P(Bあたり)=2/10=0.2$

だから、事前条件を知った上だと、より精緻な確率になるということ。

確率の直感の罠②

モンティホール問題は、直感と実際の確率がずれやすい有名な例。

例:

3つのドアがある
1つだけ当たりで、残り2つはハズレ
Aさんが最初に1つのドアを選ぶ
司会者は当たりの場所を知っていて、Aさんが選んでいないドアの中から必ずハズレを1つ開ける
その後、Aさんは「最初に選んだドアのままにする」か「残ったもう1つのドアに変更する」かを選べる

一見、最後には2つのドアしか残っていないので、以下に見える。

$$ 1/2 $$

しかし実際には、以下となる。

最初に選んだドアが当たりである確率は$1/3$
最初に選んだドアがハズレである確率は$2/3$

言い換えると、

つまり、最初に当たりを選んでいた場合、ドアを変更するとハズレになる
一方、最初にハズレを選んでいた場合、司会者は残ったハズレを必ず開けるため、ドアを変更すれば必ず当たりになる

したがって、以下となる。

$$ P(\text{変更せずに当たる}) = 1/3 $$$$ P(\text{変更して当たる}) = 2/3 $$

つまり、ドアを変更した方が当たる確率は2倍になる
ポイントは、司会者がランダムにドアを開けているわけではなく、当たりを知ったうえで必ずハズレを開けていること
そのため、「最後に2つ残ったから確率は $1/2$ ずつ」とはならない
確率を考えるときは、単に残っている選択肢の数を見るのではなく、どのようなルールで情報が得られたのかを見る必要がある

PPDACサイクル

統計的な問題解決の進め方を5つのステップに整理したフレームワーク
Problem（問題）・Plan（計画）・Data（データ）・Analysis（分析）・Conclusion（結論）の頭文字
各ステップの内容
- Problem: 何を明らかにしたいか、問題を明確にする
- Plan: どうやって調べるか、調査方法やデータの集め方を計画する
- Data: 計画に沿ってデータを収集・整理する
- Analysis: データを分析し、パターンや傾向を見出す
- Conclusion: 分析結果から結論を導き、Problemに立ち返って答える
Conclusionの結果、新たな疑問が生まれた場合は、それを次のProblemとしてサイクルを繰り返す
統計は計算そのものより、このサイクル全体を意識することが大切

まとめ

計算しましょう！