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Leanを試してみた

Sun, 03 May 2026 18:19:47 +0900

背景

最近はLeanという言語をニュースでよく見る
IUT理論での証明や、テレンス・タオが使っていたりする
Leanが、どのようにTruth and proofをやってくれるのかが気になった
そこで、Leanがどんなものか試してみた

Lean

Leanとは

Lean is an open-source programming language and proof assistant that enables correct, maintainable, and formally verified code

一言で言えば、ブラジルの科学者によって作成された証明を形式化したプログラミング言語。

Leanが何に使われているのか

Lean is the core verification technology behind Cedar, the open-source authorization language that powers cloud services like Amazon Verified Permissions and AWS Verified Access. Our team rigorously formalizes and verifies core components of Cedar using Lean’s proof assistant, and we leverage Lean’s lightning-fast runtime to continuously test our production Rust code against the Lean formalization. Lean’s efficiency, extensive libraries, and vibrant community enable us to develop and maintain Cedar at scale, while ensuring the key correctness and security properties that our users depend on.

AWSでも使われているらしい
例えば、Amazon Verified Permissionsは内部でCedarというPolicy言語を使っている
そのCedarを検証するために、Leanが使われているっぽい

Installation

VS CodeでLean 4 Extensionを使ってそのままランタイムもインストールされた

Lean言語

Leanの感覚的な証明の流れ:

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theorem 名前 : 証明したい命題 := by
 ゴールを分解する
 仮定を導入する
 既知の定理や仮定を使う
 書き換える
 単純化する
 全ゴールが消えたら証明完了

TypeとProp

Leanを理解するうえで重要な2種類の分類として、Type と Prop がある。

種類	何を分類するか	例
`Type`	データ・値の集合	`Nat`, `Bool`, `Person`
`Prop`	命題（真偽を問うもの）	`1 + 1 = 2`, `Human socrates`

つまり、次のようにデータを扱う。

命題 = 型
証明 = その型の値

Leanでよく使われる命令

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intro -- 仮定を導入
exact -- ぴったりの証明を渡す
apply -- 定理や関数を適用
constructor -- ∧ や ↔ などを分解
cases -- 場合分け
induction -- 帰納法
rw -- 等式で書き換え
simp -- 自動で単純化
ring -- 多項式計算を自動証明
linarith -- 線形不等式を自動証明

tacticとは

タクティクは、Lean において証明を対話的に行ったり自動化したりすることを可能にするもの
ようは、tactic は、Leanの証明ゴールを少しずつ攻略するコマンドみたいなんもの

Curry-Howard対応とは

命題とプログラムの型は同じ構造をしているという関係対応。

論理の世界	プログラムの世界
命題	型
証明	値（プログラム）
「AならばB」`A → B`	`A` を受け取り `B` を返す関数
証明を構成する	プログラムを書く
証明が存在する	その型の値が構成できる

Curry-Howardの例

例：「AならばB」の証明

論理的には：

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A が真 → B が真

Leanでは：

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fun (a : A) => ... : B
-- A型の値を受け取って B型の値を返す関数

関数を定義すること＝「AならばBを証明すること」になる。

別の言い方だと、「引数を渡す」というプログラム操作が、そのまま「命題を適用する」論理操作になっている。

Leanの証明の型一覧

ゴールの形によって、必要な証明の構造が変わる。

ゴールの形	意味	証明に必要なもの	例
`A`	命題Aが真	Aの型の値	`exact hA`
`A → B`	AならばB	Aを受け取りBを返す関数	`fun (a : A) => ...`
`A ∧ B`	AかつB	AとBの両方の証明のペア	`⟨証明A, 証明B⟩`
`A ∨ B`	AまたはB	AかBどちらか一方の証明	`Or.inl 証明A`
`∀ x, P x`	すべてのxでPが成り立つ	xを受け取りP xを返す関数	`fun x => ...`
`∃ x, P x`	あるxでPが成り立つ	証人x + P xの証明のペア	`⟨x, 証明⟩`
`A ↔ B`	AはBと同値	A→BとB→Aの両方	`⟨証明A→B, 証明B→A⟩`
`¬A`	Aでない	Aを受け取りFalseを返す関数	`fun (a : A) => ...`
`a = b`	aとbは等しい	書き換えや反射律	`rfl`

覚え方:

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∧ (かつ) → 両方必要 → ペア ⟨_, _⟩
∨ (または) → どちらか → Or.inl か Or.inr
∀ (すべて) → 関数 → fun x => ...
∃ (ある) → 具体例 → ペア ⟨witness, _⟩
¬ (でない) → 矛盾へ → fun a => False

Leanの例

三段論法

三段論法：

すべての人間は死ぬ
ソクラテスは人間である
よって、ソクラテスは死ぬ

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theorem syllogism
 {Person : Type}
 (Human : Person → Prop)
 (Mortal : Person → Prop)
 (socrates : Person)
 (hAll : ∀ x : Person, Human x → Mortal x)
 (hSocrates : Human socrates) :
 Mortal socrates := by
 exact hAll socrates hSocrates

キーワードの意味:

Person: 人の集合みたいなもの
Human: その人が人間かどうか
Mortal: その人が死すべき存在かどうか
socrates: ソクラテス
hAll: 任意の x について、Human x なら Mortal x
hSocrates: Socrates は Human
結論: Socrates は Mortal

つまり、下のような関係になっている。

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「Human socrates → Mortal socrates」という命題
 ↕ 同じ構造
「Human socrates を受け取って Mortal socrates を返す関数」

最後にexactは「この値がゴールの型とぴったり一致します」とLeanに渡すだけで、実行というより値を提出するイメージ。

ペアノの公理

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-- 任意の自然数 n に対して、n より大きい自然数が存在する
theorem nat_has_no_maximum :
 ∀ n : Nat, ∃ m : Nat, n < m := by
 intro n
 exact ⟨Nat.succ n, Nat.lt_succ_self n⟩

意味は以下の証明になる。

任意の n について、
m = succ n を取れば、
n < m である

exact ⟨Nat.succ n, Nat.lt_succ_self n⟩の意味:

部分	意味
`Nat`	自然数に関する型・対象
`lt`	less than（`<`）
`succ`	successor（次の数、`+1`）
`self`	自分自身

つまり、次を意味する。

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Nat.lt_succ_self : ∀ n : Nat, n < Nat.succ n
-- すべての自然数 n について、n < n+1 が成り立つ

まとめ

Leanの証明とは、ゴールという型に対して、その型を持つ項を作ることだった。

参考文献

たまに間違っている論理の概念

Mon, 29 Jul 2024 21:56:18 +0900

背景

たまに間違って理解していたり、理解が浅かったりする概念のメモ
特に人とディスカッションをしていたりする時に概念が曖昧だと混乱の元

条件

命題と条件と前提

命題
- 真か偽かを決められる文
- 例：「Aさんは東京に住んでいる」「2は偶数である」
条件
- ある結論・目的・状態が成り立つための要件や前提
- 多くの場合、命題として表せる。ただし、別の命題との関係の中で「必要条件」「十分条件」などの役割を持つ
複合命題
- 複数の命題を、否定・かつ・または・ならばなどで組み合わせた命題
- 例：$P \Rightarrow Q$ は、「$P$ ならば $Q$」という複合命題
前提
- 議論や推論を始める際に、ひとまず正しいものとして置く命題・仮定
- 前提から、結論を導く
前提条件
- ある物事や計画を成り立たせるために、あらかじめ満たしておくべき条件や事実の事

十分条件と必要条件とは

十分条件と必要条件は、「ある条件が、別の条件に対してどれくらい足りているか／欠かせないか」を表す言葉
義務教育でも習うし、ビジネスでもよく使う言葉である

十分条件と必要条件の例

わかりやすい例として、次の命題を考える。

東京に住んでいるなら、日本に住んでいる。

$$ P \Rightarrow Q $$

ここで、以下とする。

$P$ ：東京に住んでいる
$Q$ ：日本に住んでいる

このとき、条件は以下になる。

「東京に住んでいる」は「日本に住んでいる」の十分条件
「日本に住んでいる」は「東京に住んでいる」の必要条件

「東京に住んでいる」だけで「日本に住んでいる」と言えるため、前者は後者の十分条件になる。

また、「東京に住んでいる」ためには、少なくとも「日本に住んでいる」必要があるため、後者は前者の必要条件になる。

十分条件と必要条件の言い換え

わかりやすくいうと次：

十分条件（=充足条件）
- それを満たせば、目的の条件を満たすことが保証される条件
- 日常語に寄せると、「それがあれば足りる」条件
必要条件（=必須条件）
- 目的の条件を満たすために、必ず満たしていなければならない条件
- 日常語に寄せると、「それがないと成り立たない」条件

対偶は正しい

$$ P \Rightarrow Q $$

が正しいとき、常に正しいのはその対偶。

$$ \neg Q \Rightarrow \neg P $$

つまり、以下は正しい。

日本に住んでいないなら、東京に住んでいない。

裏と逆はUnknown

さっきの例だと、裏と逆は以下になる。

裏:

$$ \neg P \Rightarrow \neg Q $$

東京に住んでいないなら、日本に住んでいない。

逆:

$$ Q \Rightarrow P $$

日本に住んでいるなら、東京に住んでいる。

つまり、一方、元の命題が正しくても、逆や裏が正しいとは限らない。

ちなみに、逆と裏は互いに同値になる。

$$ Q \Rightarrow P \Leftrightarrow \neg P \Rightarrow \neg Q $$

まとめの例

前提として、PとQの条件を次のように定義する。

$$ P=\text{難しい課題が解ける} $$ $$ Q=\text{簡単な課題が解ける} $$

そして「難しい課題が解けるなら、簡単な課題も解ける」の（複合）命題を以下を定義する。

$$ P \Rightarrow Q $$

上記を認めるなら、整理はこうなる。

難しい課題が解ける ⇒ 簡単な課題も解ける
- → True（元の命題）
簡単な課題が解けない ⇒ 難しい課題は解けない
- → True（対偶）
簡単な課題が解ける ⇒ 難しい課題が解ける
- → Falseとは限らない／一般には導けない（逆）
難しい課題が解けない ⇒ 簡単な課題も解けない
- → Falseとは限らない／一般には導けない（裏）

最後はむしろ、次のような人が反例となる。

簡単な課題は解けるが、難しい課題は解けない。

また、対偶に対して反例っぽく見える例があるとしたら、それは対偶への反例ではなく、そもそもの前提の命題が間違っていることとなる。

証明

天使の証明（肯定命題の証明）

天使の証明とは、あるものが「存在する」ことを証明する簡単さを指す。
「一例で足りる存在証明」を、便宜上形式的に“天使の証明”と呼んでいる
オレオレ定義の造語で、標準的な用語ではないので注意

悪魔の証明（否定命題の証明）

悪魔の証明とは、あるものが「存在しない」ことを証明する難しさを指す。

たとえば、次の二つを比べる。

宇宙人はいる
宇宙人はいない

「宇宙人はいる」を証明するには、確実な宇宙人の存在を一例示せばよい。

$$ \exists x, xは宇宙人である $$

一方で、「宇宙人はいない」を証明するには、宇宙全体を調べるか、宇宙人が存在すると論理的に矛盾することを示す必要がある。

$$ \forall x, xは宇宙人ではない $$

宇宙のように範囲が広く、すべてを観測できない対象では、不存在を証明することは特に難しい。

悪魔の証明の意味

悪魔の証明は単に「範囲が広いと証明できない」という意味ではなく、次のように捉えるとよい。

存在を示すには一例で足りることが多いが、不存在を示すには対象範囲全体の確認や、論理的な不可能性の証明が必要になる。

ただし、定義上ありえないものについては、不存在を論理的に証明できる。

例：

四角い円は存在しない。

これは「円」と「四角形」の定義が両立しないため。

量化子とは

「すべて」や「少なくとも一つ」といった表現は、論理では量化子で表す。

$\forall$：すべての
$\exists$：少なくとも一つ存在する

また、量化子が対象にする範囲を対象範囲（定義域）という。

量化子の例

たとえば、$U$ を宇宙に存在する対象全体とし、$A(x)$ を「$x$ は宇宙人である」とする。

その時、「宇宙人がいる」は、次のように書ける。

$$ \exists x \in U,\ A(x) $$

これは「宇宙のどこかに、宇宙人であるものが少なくとも一つ存在する」という意味
一方、「宇宙人はいない」は次のように書ける

$$ \forall x \in U,\ \neg A(x) $$

これは「宇宙に存在するすべての対象について、宇宙人ではない」という意味。

量化子の証明方法

この二つでは、確認しなければならない範囲が異なる。

$\exists$
- 一つでも確実な例を見つければよい
$\forall$
- 対象範囲の任意の対象について成り立つことを示す必要がある
- 注意
  - 有限の場合は、一つ一つ調べる事もOK
  - 無限の場合は、対象を個別に全部調べなくても、すべてに通用する一般的な根拠を示せば証明ともなる
- たとえば「すべての偶数の二乗は偶数」は、すべての偶数を調べなくても証明できる。

そのため、対象範囲が広いほど、「存在しない」という主張を経験的に証明するのは難しくなる。

量化子の証明の難易度

量化子を使った証明の難易度は範囲が関係する。

例:

部屋の中

この部屋（R）に宇宙人はいない。 $$ \forall x \in R,\ \neg A(x) $$
宇宙の中

宇宙（U）に宇宙人はいない。 $$ \forall x \in U,\ \neg A(x) $$

宇宙が難しい理由:

部屋であれば範囲が限られているため、確認できる可能性がある
一方、宇宙全体を対象にすると、すべてを調べ切ることが難しい

量化子の否定

また、否定を取ると量化子は入れ替わる。

$$ \neg \left( \exists x,\ A(x) \right) \Leftrightarrow \forall x,\ \neg A(x) $$

「宇宙人がいる、ということはない」は、「すべての対象は宇宙人ではない」と同じ意味になる。

逆に、

$$ \neg \left( \forall x,\ A(x) \right) \Leftrightarrow \exists x,\ \neg A(x) $$

「すべての対象が宇宙人である、とは限らない」は、「宇宙人ではない対象が少なくとも一つある」と言い換えられる。

まとめ

天使は対象範囲を広げて、悪魔は対象範囲を狭めると確率的に存在の証明がしやすい
ただし、存在を示す場合でも、挙げた一例が本当に条件を満たすことまで示す必要がある
相手が間違った証明をしていると言いたければ、反例を一つ出せばいい
元の命題が正しくても、その逆と裏が正しいとは限らないので注意
反例が出たときは、対象範囲・前提・結論を見直し、必要に応じて条件を追加したり、主張の範囲を限定したりする
もしくは、カレーが食べたい vs. ラーメンが食べたい => カレーラーメンを食べる（アウフヘーベン）みたいな、主張のmixもできる

素因数分解の一意性と困難性

Sat, 27 Jul 2024 23:55:17 +0900

背景

ある識別子を生成する時に素因数分解の一意性が使えることを知ったのでメモ
ただし、現実的には数が大きくなりすぎるため、利用はできないので注意
トップの画像はなんとなくペンローズの三角形にした

素因数分解の性質

素因数分解の一意性とは

定義は次になる。

全ての正の整数は素数の積として一意に表せる。

当たり前と言えば当たり前という定義。
なぜなら、素因数分解すれば全部素数になるため。

素因数分解の一意性の証明

数学的帰納法と背理法を組み合わせて素因数分解の一意性の証明をする。

準備
- まず、任意の自然数 $n > 1$は少なくとも1つの素因数を持つことを仮定する
背理法の適用
- 素因数分解の一意性が成り立たないと仮定し、矛盾を導く
仮定
- ある自然数$n$が2つの異なる（一意ではない）素因数分解を持つと仮定する
- $n = p₁ \times p₂ \times … \times pₖ = q₁ \times q₂ \times … \times qₘ$
- ここで、$pᵢ$と$qⱼ$はすべて素数で、$k ≤ m$ とする
最小の反例の考察
- $n$を、この性質を持つ最小の数とする
- つまり、$n$を「2つの異なる素因数分解を持つ最小の数」と仮定
素因数の比較
- $p₁ ≤ q₁$ とする（そうでない場合は順序を入れ替える）
割り算の考察
- $\frac{n}{p₁}$ を考える
- これは$n$より小さい数
矛盾の導出
- もし$p₁ < q₁$の場合
  - $\frac{n}{p_1}$は自然数になる（なぜなら、$p_1$は$n$の約数のため）
  - $\frac{q₁ \times q₂ \times … \times qₘ}{p_1}$では$p_1$はどの$q_m$とも異なる為、自然数にはならない
  - つまり、等式が成り立たず矛盾となる
- もし$p₁ = q₁$の場合
  - $\frac{n}{p₁} = p₂ \times … \times pₖ = q₂ \times … \times qₘ$ となる
  - $\frac{n}{p_1}$は$n$より小さい自然数になり、このnより小さい数も、「2つの異なる素因数分解を持つ」ことになる
  - しかし、 $n$は「2つの異なる素因数分解を持つ最小の数」であると仮定している
  - したがって、 $n$より小さい数がそのような性質を持つことは矛盾する
結論
- どちらの場合も、$\frac{n}{p₁}$ が矛盾する
- これは$n$が最小の反例であるという仮定に矛盾する
Q.E.D.
- したがって、最初の仮定（素因数分解の一意性が成り立たない）が誤りであることが示された
- つまり、素因数分解の一意性が証明された

まとめると、背理法で、「素因数分解の一意性」の命題の逆として「異なる2つの素因数分解がある」と仮定を立て、そして「2つの異なる素因数分解を持つ最小の数」として条件を満たすのかを考察した。結果、等式に矛盾や、反例の条件を満たさなかった。故に、条件は矛盾するので、仮定が成り立たない。それを反例として逆説的に命題が成り立つ事を証明した。

素因数分解の困難性とは

非常に大きな合成数を素因数分解することは、現在の計算能力では現実的な時間内には不可能と考えられている
その理由は、素数の分布には規則性がなく、ある数の素因数分解をするには、試行錯誤的に探索して探す必要があるため

素因数分解の応用のアイディア

データ圧縮

データを素因数分解し、その結果を保存することで、元のデータをよりコンパクトに表現する
ある整数を素因数分解した結果を保存する方が、元の整数を保存するよりも少ない情報量で済むかもしれないため

識別子の生成

IDが大きくなりすぎるため、現実的ではないが、素因数分解の一意性で、n番目のネットワークのm番目のホストに一意にIDを振る事が可能。

$$ id = 2^n \times 3^m $$

2と3が素数ではなくても、互いに素ならいけるはず。
また下のように逆変換もできる。

$$ 3888= 2^4 \times 3^5 $$

RSA暗号

RSA暗号とは

RSA暗号は公開鍵暗号方式で使われ、公開鍵で暗号化し、秘密鍵を持つ者のみが復号できる方法
素因数分解の性質が使われている暗号方式

RSA暗号の仕組み

素因数分解の一意性よりは、素因数分解問題の困難性を利用しているが、よく使われるRSA暗号の仕組みは以下になる。

鍵生成:
- 2つの大きな素数 $p$ と $q$ を選び、それらの積 $n = p \times q$ を計算する
- $n$は公開鍵の一部として公開される
- $p$と$q$ は秘密鍵として厳重に保管される
指数の生成:
- まず、$\phi(n)= (p-1)(q-1)$を計算する
- $\phi(n)$はオイラーのφ関数であり、非公開
- その後2つの指数を計算する
1. 公開指数 $e$
  - $e$は暗号化に使用される公開指数
  - $e$は$\phi(n)$と互いに素である数
  - 通常、小さな素数（例：3, 17, 65537など）が選ばれる
2. 秘密指数 $d$
  - $d$は復号に使用される秘密指数
  - $d$は$e$のモジュラ逆数として計算される
  - $e \times d ≡ 1 \pmod {\phi(n)}$
  - つまり、$d \times e$ を $\phi(n)$で割った余りが1になるようなdを見つける
暗号化:
- 送信者は、公開鍵 $n$ と公開鍵の一部である公開指数 $e$ を使って、平文 $m$ を暗号文 $c$ に変換する $$c \equiv m^e \pmod{n}$$
復号:
- 受信者は、秘密鍵 $p$ と $q$ から計算される秘密指数 $d$ を使って、暗号文 $c$ を平文 $m$ に変換する $$m \equiv c^d \pmod{n}$$

$e$と$d$の関係は、暗号化と復号が互いに逆操作になることを保証する。

数学的には$(m^e)^d ≡ m^{e \times d} \equiv m \pmod n$となっている
その証明にはオイラーの定理や中国剰余定理が使われている
暗号化された後に復号された message は元の message と同じになる

つまり次が言える。

RSA暗号の安全性の根拠は、大きな合成数 $n$ を素因数分解することが非常に難しいという点にある
$p$ と $q$ が分からなければ、秘密指数 $d$ を計算することが困難であり、暗号文を復号することができないから

オイラーの定理による証明

$(m^e)^d ≡ m^{e \times d} \equiv m \pmod n$の証明。

todo

その他

モジュロ演算の例

70が法（modulus）で合同（congruent ）になるモジュロ（modulo）演算の例。

$$ 74 \equiv 2401 \equiv 4 \pmod{70} $$

モジュラ逆数

モジュラ逆数は、モジュラ演算（剰余演算）における「逆数」の概念。

数$a$のモジュロ$m$におけるモジュラ逆数$b$とは、次の条件を満たす数:

$$ a \times b \equiv 1 \pmod m $$

つまり、$a$と$b$の積を$m$で割った余りが$1$になるような$b$のこと。

重要な特性:

モジュラ逆数が存在するのは、$a$と$m$が互いに素（最大公約数が$1$）の場合のみ
存在する場合、モジュラ逆数は $0$ から $m-1$ の範囲内に唯一存在する

モジュラ逆数の例

modulo $7$における$3$のモジュラ逆数:

$$ 3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod 7 $$

したがって、3のモジュロ7におけるモジュラ逆数は5。

オイラーのφ関数

オイラーのφ関数とは、ある整数$n$に対して、$n$と素な自然数の個数（$\phi(n)$）を返す関数。
$n$が互いに素な2つの素数$p$と$q$の積である場合、$(p-1)(q-1)$で求められる。

$$ \phi(n) = (p-1)(q-1) $$

つまり、ある素数pに対して、pとp以下の整数で互いに素な素数の個数は以下になる。

$$ \phi(p) = p - 1 $$

例えば、素数$p=11$の、11未満の正の整数は、1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 の10個。
したがって、$\phi(11)=(11-1)=10$、なので、素数なので当たり前だが10個。

オイラーのφ関数の例

$n=6$のオイラーのφ関数の例。

$$ \phi(6) = (2-1)(3-1) = 2 $$

自然数$1, 2, 3, 4, 5, 6$の中で、$n$と互いに素なのは$1$と$5$
故に、$\phi(6)=2$となる

なお、互いに素ではなく、かつ素数でもない数に対しては素因数分解をするしかない。

剰余演算の性質

剰余演算には以下の便利な性質があり、計算途中の値が大きくなりすぎる事を防げる。

$$ a\times b \pmod n ≡ (a\mod n) \times (b\mod n) \pmod n \\ a ^ b \pmod n ≡ (a\mod n) ^ b \pmod n $$

つまり、基数と指数は大きな数でも分解可能という事。

繰り返し二乗法

RSA暗号では冪剰余の計算が必要になが繰り返し二乗法などのアルゴで簡単に計算ができる
繰り返し二乗法は、効率的にべき乗を計算するためのアルゴリズムで、シンプルに指数法則で分解する方法
つまり、冪剰余の計算の容易性という事である

指数を2進数に変換
- 13を2進数で表すと1101となる
2のべき乗の計算
- $7^1$, $7^2$, $7^4$, $7^8$を計算 $$ 7^1 = 7 \\ 7^2 = 7^1 \times 7^1 = 49 \\ 7^4 = 7^2 \times 7^2 = 2401 \\ 7^8 = 7^4 \times 7^4 = 5764801 $$
積を求める
- 2進数表現の1が立っている桁に対応するべき乗の積を計算する $$ 7^13 = 7^8 \times 7^4 \times 7^1 \\ = 5764801 \times 2401 \times 7 = 96889010407 $$

実際は剰余演算の性質を利用して、次のように途中でモジュロ計算を行い結果を出す。

$$ 7^{13} \equiv 7^8 \times 7^4 \times 7^1 \\ \equiv 21 \times 21 \times 7 \\ \equiv 7 \pmod{70} $$

まとめ

データ圧縮や識別子に素因数分解の一意性を利用するのは、無限のリソース空間がない限り無理だろう
素因数分解の困難性は、RSA暗号の基盤になっている

参考文献

三角関数の公式の備忘録

Fri, 26 Jan 2024 11:01:48 +0900

概要

Positional Encodingの解釈を説明していたブログにいい内容があったのでメモ
積和の公式などは完全に忘れているし、三角関数は大人になっても以外に使うので残す
例えば、ニューラルネットワークでは活性化関数としてtanhは良く利用されていたりする

基本

三角形には辺が3つあるため、そこから2辺を選んでx/yのようなかたちで書く選び方は3×2 = 6通り
sin, cos, tanで3通り出ているため、残りは3通りで、それらがcose, sec, cot

$$ \cosec \theta = \frac{c}{a} = \frac{1}{sin \theta} \\ \sec \theta = \frac{c}{b} = \frac{1}{cos \theta} \\\ \tan \theta = \frac{{\sin \theta}}{{\cos \theta}} \\ \cot \theta = \frac{b}{a} = \frac{1}{tan \theta} = {\tan ^{ – 1}}\theta = \frac{{\cos \theta}}{{\sin \theta}} $$

ラジアンと度数の変換（Radian and degree conversion）

$$ \frac{b}{\pi } = \frac{\alpha }{{180}} $$

符号（Sign）

1
2
3
4
5


Quadrant 1 2 3 4
sin + + - -
cos + - - +
tan + - + -
cot + - + -

オイラーの公式

オイラーの公式で次のように表現する。

$$ e^{ix} = \cos x + i \sin x \\ sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \\ cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} $$

双曲線関数（hyperbolic function）

指数関数$e^x$をもとに定義される以下は双曲線関数。

$$ \sinh x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \\ \cosh x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \\ \tanh x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} $$

$y=\cosh x$ のグラフは紫
$y=\sinh x$ のグラフは赤
$y=\tanh x$ のグラフは緑

二乗の公式（square formula）

$$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \\ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \\ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$

加法定理（Addition theorems）

$$ \begin{array}{l} \sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \sin \left( {\alpha – \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta \\ \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \\ \cos \left( {\alpha – \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 – \tan \alpha \tan \beta }} \\ \tan \left( {\alpha – \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha – \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha \tan \beta }} \\ \cot \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\cot \alpha \cot \beta – 1}}{{\cot \beta + \cot \alpha }} \\ \cot \left( {\alpha – \beta } \right) = \frac{{\cot \alpha \cot \beta + 1}}{{\cot \beta – \cot \alpha }} \end{array} $$

相互関係（Relations）

$$ \begin{array}{l} {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \\ {\tan ^2}x + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ {\cot ^2}x + 1 = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\\ \cot x = \frac{1}{{\tan x}} \end{array} $$

和積の公式（Sum to product）

$$ \begin{array}{l} \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha – \beta }}{2}\\ \sin \alpha – \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha – \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}\\ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha – \beta }}{2}\\ \cos \alpha – \cos \beta = – 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha – \beta }}{2} \end{array} $$

積和の公式（Product to sum)

$$ \begin{array}{l} \sin \alpha \sin \beta = – \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) – \cos \left( {\alpha – \beta } \right)} \right) \\ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left( {\sin \left( {\alpha + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha – \beta } \right)} \right) \\ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha – \beta } \right)} \right) \end{array} $$

アーク関数（Arcus functions）

-1乗かarcxxxで表現する。

$$ \arcsin x = \sin^{-1}x \\ \arccos x = \cos^{-1}x \\ \arctan x = \tan^{-1}x \\ $$

$$ \begin{array}{l} \sin \left( {\arcsin a} \right) = \cos \left( {\arccos a} \right) = a,a \in \left[ { – 1,1} \right]\\ \tan \left( {\arctan a} \right) = \cot \left( {{\mathop{\rm arccot}\nolimits} a} \right) = a,a \in\left[ { – \infty,\infty} \right] \end{array} $$

Arcus values

$$ \begin{array}{l} \alpha = \arcsin a \Leftrightarrow a = \sin \alpha ,\alpha \in \left[ { – \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\\ \beta = \arctan a \Leftrightarrow a = \tan \beta ,\beta \in \left[ {\frac{{ – \pi }}{2},\frac{\pi }{2}} \right]\\ \gamma = \arccos a \Leftrightarrow a = \cos \gamma ,\gamma \in \left[ {0,\pi } \right]\\ \varphi = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} a \Leftrightarrow a = \cot \varphi ,\varphi \in \left[ {0,\pi } \right] \end{array} $$

Arcsin of sin

$$ \arcsin \left( {\sin \alpha } \right) = \left\{ \begin{array}{l} \alpha \bmod 2\pi {\rm{, if }}\left( {\alpha \bmod 2\pi } \right) \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right] \\ \left( {\alpha \bmod 2\pi } \right) – 2\pi ,{\rm{ if }}\left( {\alpha \bmod 2\pi } \right) \in \left[ {\frac{{3\pi }}{2},2\pi } \right] \\ \pi – \left( {\alpha \bmod 2\pi } \right),{\rm{ else}} \end{array} \right. $$

Arccos of cos

$$ \arccos \left( {\cos \alpha } \right) = \left\{ \begin{array}{l} \alpha \bmod 2\pi {\rm{, if }}\left( {\alpha \bmod 2\pi } \right) \in \left[ {0,\pi } \right] \\ \left( { – \alpha } \right)\bmod 2\pi {\rm{, else}} \end{array} \right. $$

Arccot of cot and arctan of tan

$$ \begin{array}{l} {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( {\cot \alpha } \right) = \alpha \bmod \pi \\ \arctan \left( {\tan \alpha } \right) = \left\{ \begin{array}{l} \alpha \bmod \pi {\rm{, if }}\left( {\alpha \bmod \pi } \right) \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right] \\ \left( {\alpha \bmod \pi } \right) – \pi {\rm{, else}} \end{array} \right. \end{array} $$

逆三角関数の関係（Relations between arcus functions）

$$ \begin{array}{l} \arccos a + \arcsin a = \frac{\pi }{2}\\ \arctan a + {\mathop{\rm arccot}\nolimits} a = \frac{\pi }{2} \end{array} $$

単位円の対称性（Unit circle symmetry）

X-axis

$$ \begin{array}{l} \sin x = – \sin \left( { – x} \right)\\ \cos x = \cos \left( { – x} \right)\\ \tan x = – \tan \left( { – x} \right) \end{array} $$

Y-axis

$$ \begin{array}{l} \sin x = \sin \left( {\pi – x} \right)\\ \cos x = – \cos \left( {\pi – x} \right)\\ \tan x = – \tan \left( {\pi – x} \right) \end{array} $$

座標原点（Coordinate origin）

$$ \begin{array}{l} \sin x = – \sin \left( {\pi + x} \right)\\ \cos x = – \cos \left( {\pi + x} \right)\\ \tan x = \tan \left( {\pi + x} \right) \end{array} $$

角の二等分線（Angle bisector）

$$ \begin{array}{l} \sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = \cos x\\ \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = \sin x\\ \tan \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = \cot x \end{array} $$

倍角と半角（Double and half angle）

倍角の公式（Double angle）

$$ \begin{array}{l} \sin \left( {2\alpha } \right) = 2\sin \alpha \cos \alpha \\ \cos \left( {2\alpha } \right) = 1 – 2{\sin ^2}\alpha \end{array} $$

タンジェントの場合。

$$ \begin{array}{l} \sin \left( {2\alpha } \right) = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\\ \cos \left( {2\alpha } \right) = \frac{{1 – {{\tan }^2}\alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\\ \tan \left( {2\alpha } \right) = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 – {{\tan }^2}\alpha }} \end{array} $$

半角の公式（Half angle）

$$ \begin{array}{l} {\sin ^2}\left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{1 – \cos \alpha }}{2}\\ {\cos ^2}\left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{1 + \cos \alpha }}{2}\\ \tan \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}{\rm{, if }}\alpha \in \left[ {0,\pi } \right]\\ = \frac{{\tan \alpha }}{{1 + \sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }}{\rm{, if }}\alpha \in \left] { – \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right[ \end{array} $$

三角関数の特殊値（Special values）

$$ \begin{array}{c|cccccccc} \begin{matrix}\text{Radian}\\ \text{Degree}\end{matrix} & \begin{matrix}0\\ 0^\circ\end{matrix} & \begin{matrix}\frac{\pi}{12}\\ 15^\circ\end{matrix} & \begin{matrix}\frac{\pi}{8}\\ 22.5^\circ\end{matrix} & \begin{matrix}\frac{\pi}{6}\\ 30^\circ\end{matrix} & \begin{matrix}\frac{\pi}{4}\\ 45^\circ\end{matrix} & \begin{matrix}\frac{\pi}{3}\\ 60^\circ\end{matrix} & \begin{matrix}\frac{5\pi}{12}\\ 75^\circ\end{matrix} & \begin{matrix}\frac{\pi}{2}\\ 90^\circ\end{matrix} \\ \hline \sin & 0 & \frac{ \sqrt{6} – \sqrt{2} } {4} & \frac{ \sqrt{2 – \sqrt{2}} } {2} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } {4} & 1 \\ \cos & 1 & \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} & \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} } {2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & \frac{ \sqrt{6} – \sqrt{2}} {4} & 0 \\ \tan & 0 & 2-\sqrt{3} & \sqrt{2} – 1 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & 2+\sqrt{3} & \infty \\ \cot & \infty & 2+\sqrt{3} & \sqrt{2} + 1 & \sqrt{3} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 2-\sqrt{3} & 0 \\ \sec & 1 & \sqrt{6} – \sqrt{2} & \sqrt{2} \sqrt{ 2 – \sqrt{2} } & \frac{2\sqrt{3}}{3} & \sqrt{2} & 2 & \sqrt{6}+\sqrt{2} & \infty \\ \csc & \infty & \sqrt{6}+\sqrt{2} & \sqrt{2} \sqrt{ 2 + \sqrt{2} } & 2 & \sqrt{2} & \frac{2\sqrt{3}}{3} & \sqrt{6} – \sqrt{2} & 1 \\ \end{array} $$

三角関数の微分（Differentiation）

$$ \begin{align} \frac{d}{dx}\sin(x) =& \cos(x)\\ \frac{d}{dx}\cos(x) =& -\sin(x)\\ \frac{d}{dx}\tan(x) =& \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)’ = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)\\ \frac{d}{dx}\cot(x) =& \left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)’ = \frac{-\sin^2(x) – \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -(1+\cot^2(x)) = -\csc^2(x)\\ \frac{d}{dx}\sec(x) =& \left(\frac{1}{\cos(x)}\right)’ = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x)\\ \frac{d}{dx}\csc(x) =& \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)’ = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = -\csc(x)\cot(x)\\ \frac{d}{dx}\arcsin(x) =& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx}\arccos(x) =& \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx}\arctan(x) =& \frac{1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx}arccot(x) =& \frac{-1}{1+x^2} \\ \frac{d}{dx}arccsc(x) =& \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \end{align} $$

三角関数の積分（Integral）

不定積分（indefinite integral）

$$ \begin{align} &\int \sin^{2} x , dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin 2x + C \\ &\int \cos^{2} x , dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin 2x + C \\ &\int x \sin x , dx = -x \cos x + \sin x + C \\ &\int x \cos x , dx = x \sin x + \cos x + C \\ &\int x^{2} \sin x , dx = -x^{2} \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C \\ &\int x^{2}\cos x , dx = x^{2} \sin x + 2x \cos x - 2\sin x + C \end{align} $$

定積分（definite integral）

$$ \begin{align} &\int_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \sin x , dx = \int_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \cos x , dx = 1 \\ &\int_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \sin^{2} x , dx = \int_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \cos^{2} x , dx = \frac{\pi}{4} \\ &\int_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \sin^{3} x , dx = \int_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \cos^{3} x , dx = \frac{2}{3} \\ &\int_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \sin^{4} x , dx = \int_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \cos^{4} x , dx = \frac{3\pi}{16} \end{align} $$

参考文献

Latexと英語での基本的な数学用語の備忘録

Mon, 15 Jan 2024 00:03:17 +0900

概要

仕事で外国人とやり取りする時に数学用語はよく使う
その時に、パッと英語で数学用語がでないと困る
また、LatexはMarkdownで記述する時によく使う
そこで、Latexと英語とRでの数学用語の基本的なメモを残す

NOTE:

便宜上形式的にLaTeXをLatexと表記する

LaTex

論理学系用語

これで基本的な用語は充足しているだろう。

日本語	英語	説明
公準	Postulate	証明されないが自明とみなされる命題（特に幾何学で）
公理	Axiom	自明かつ不証明の前提
定義	Definition	ある用語、記号、概念の正確な意味を明示するための文
原理	Principle	ある分野で理論構築の基盤となるような、基本的な法則や概念
命題	Proposition	真または偽であると判断できるもの
定理	Theorem	数学における重要な命題
公式	Formula	数学的な関係を表現する式
系	Corollary	他の定理や命題から直接導出される命題
法則	Law	実験や観測に基づいて確立された一般的な原理や規則
前提	Premise	論理的な推論や数学的証明における出発点となる命題や仮定
条件	Condition	ある命題、定理、または論理的結論が成り立つために必要な仮定や要件
仮説	Hypothesis	未だ証明されていない命題や仮定
証明	Proof	ある命題が真であることを論理的に示す過程
補題	Lemma	主要な定理や命題の証明を容易にするために用いられる、補助的な命題
推論	Inference	既知の事実や命題から新たな結論を導く論理的なプロセス

変数（variable）

$$ x = 10 $$

変数の修飾

全ての変数（all variable）
- $n$の下付き文字で定義時に表す

$$ X = X_1, X_2, \cdots ,X_n $$

各変数（every variable）
- n項演算子と$i$の下付き文字で表す

$$ S = \sum_{i=0}^{n}X_i $$

任意の変数（any variable）
- n項演算子なしの場合は、$i$の下付き文字で表す

$$ E(X_i) = \mu $$

アクセント

循環小数

$$ \dot{a} = 0.9999 $$

推定値

$$ \hat{x} = 12 $$

平均

$$ \bar{x} = 12 $$

複素共役と補集合
- （エルミート共役と紛らわしいので、アスタリスクではなくバーで表す）

$$ \bar{z} $$

随伴行列（エルミート共役）
- 随伴行列はアスタリスク

$$ A^{*} $$

1

x <- 12

ドットは単なる名前（dataオブジェクととかではない）

1
2


data.train <- xxx
data.test <- xxxxx

型の意味

関数	意味
typeof()	R言語視点のType
class()	クラスのtype
mode()	S言語視点（Becker, Chambers & Wilks視点）のType

型の例

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11


> x <- as.Date('2010-01-01')
> x
[1] "2010-01-01"
> class(x)
[1] "Date"
> typeof(x)
[1] "double"
> mode(x)
[1] "numeric"
> unclass(x)
[1] 14610

分数（Fraction）

出力	$\TeX$
$\frac{a}{b}$	\frac{a}{b}

英語での分数の読み方のルールは次になる。

分母は「denominator, denom.」
分子は「numerator, numer.」
分数を「分子 -> 分母」の順で読む
- 分子は基数（cardinal numbers）を使う
- 分母は序数（ordinary numbers）を使う
  - 序数は次の2つの意味がある
    - Third: 3番目
    - Third: 1/3
ただし以下に注意
- 1/1の時
  - one whole
  - one over one
- 分子が0の場合
  - zero thirds（0/3）
- 分子が1
  - 分子はaかoneで、分母は単数形
    - 分母が2の時
      - one half (1/2)
      - a half (1/2)
      - one second (1秒) <= 間違い
      - half a second （0.5秒）<= 間違い
    - 分母が3の時
      - one third (1/3)
    - 分母が4の時
      - a quarter
      - one fourth <= よりフォーマル
- 分子が1より大きい
  - 分母は複数形
    - 分母が2の時
      - two halves（2/2）
      - two seconds (2秒) <= 2秒なので注意
    - 分母が3の時
      - two thirds（2/3）
    - 分母が4の時
      - two quarters（2/4）
      - two fourths（2/4） <= これは一般的ではない
    - 分母が5, 6の時
      - two fifths（2/5）
      - two sixths（2/6）
      - three twelfths（3/12）
    - 分母が巨大な時
      - one hundredth (1/100) <= これでもOK
      - one over one hundred (1/100) <= こっちが一般的
- 分子や分母が少数の時は
  - one point four fifths
  - one point five over three
  - one point five divided by three
- 帯分数の場合はandで繋げる
  - three and a half (3 + 1/2)
  - three times one-half （3 x 1/2）
- 分母が分子より大きいとき
  - 5 out of 10
その他
- tenth of a millimeter（ミリメートルの十分の一）

記号（symbol）

出力	$\TeX$
$=$	=
$+$	+
$-$	-
$\times$	\times
$\div$	\div
$\pm$	\pm
$\mp$	\mp
$\neq$	\neq
$\sim$	\sim
$\simeq$	\simeq
$\fallingdotseq$	\fallingdotseq
$\risingdotseq$	\risingdotseq
$\equiv$	\equiv
$>$	>
$<$	<
$\geq$	\geq
$\geqq$	\geqq
$\leq$	\leq
$\leqq$	\leqq
$\gg$	\gg
$\ll$	\ll
$\oplus$	\oplus
$\ominus$	\ominus
$\otimes$	\otimes
$\oslash$	\oslash
$\circ$	\circ
$\cdot$	\cdot
$\cdots$	\cdots
$\bullet$	\bullet
$\in$	\in
$\ni$	\ni
$\notin$	\notin
$\subset$	\subset
$\supset$	\supset
$\subseteq$	\subseteq
$\supseteq$	\supseteq
$\cap$	\cap
$\cup$	\cup
$\emptyset$	\emptyset
$\infty$	\infty

集合（set）

集合は大文字
元（要素）は小文字

$$ X = \{x_1, x_2, x_3\} $$

特徴づけ（characterize）

性質P（property）が対象Xを特徴づける

$$ X = \{x | P(X) \} $$

もしくは条件

$$ X = \{x | x \in \mathbb{R} \} $$

条件付き確率（$P(X|C)$）の場合は括弧、特徴付けは波括弧の中でパイプをつかう

集合の関係

出力	$\TeX$
$\in$	\in
$\ni$	\ni
$\notin$	\notin
$\subset$	\subset
$\supset$	\supset
$\subseteq$	\subseteq
$\supseteq$	\supseteq
$\cap$	\cap
$\cup$	\cup
$\emptyset$	\emptyset
$\infty$	\infty

数の集合（Set of numbers）

意味	出力	$\TeX$
自然数	$\mathbb{N}$	\mathbb{N}
整数	$\mathbb{Z}$	\mathbb{Z}
有理数	$\mathbb{Q}$	\mathbb{Q}
実数	$\mathbb{R}$	\mathbb{R}
複素数	$\mathbb{C}$	\mathbb{C}

例

$$ 3\in\mathbb{N} \\ 3.14\notin\mathbb{Z} \\ \mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \\ $$

関数（function）

関数

$$ y = f(x) = 2x $$

関数の引数が複数の場合。
コロンの場合は、複数引数を使う。

$$ f(x, x_2) = x + x_2 $$

セミコロンの場合は、セミコロンの前は変数、セミコロンの後はパラメータとなる。

$$ f(x; a,b) = (x^a)e^{(-x/b)} $$

セミコロンの意味:

$f(x; a, b)$ はパラメータ$a, b$によって特徴付けられる、$x$変数の関数$f$みたいなイメージ
つまり、$a,b$は係数としての性格が強く、$a,b$を固定して$x$の関数と見なすことが多い

ベクトル関数

$$ \mathbf{y} = \mathbf{a}(x) $$

写像

$$ f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} $$

場合分け

$$ y = \begin{cases} 1 & (n=0) \\ x^{n-1} & (otherwise) \end{cases} $$

1
2
3
4
5
6
7
8
9


> f <- function(a,b=2){
 return(a * b)
 # a*b #←return省略も可能
}

> f(2)
[1] 4
> f(b=3,a=2)
[1] 6

集計関数（aggregate function）

総乗

$$ f(x) = \sum_{i=0}^n x_i $$

総乗

$$ f(x) = \prod_{i=0}^n x_i $$

集合を使った場合

$$ f(x) = \sum_{i\in N} x_i $$

max / min / which.max / which.min 最大値/ 最小値/ 最大値のある場所 / 最小値のある場所
unique 重複除去
sum / mean / median / var 合計 / 平均値 / 中央値 / 不偏分散

三角関数（trigonometric function）

出力	$\TeX$
$\sin x$	\sin x
$\cos x$	\cos x
$\tan x$	\tan x
$\csc x$	\csc x
$\sec x$	\sec x
$\cot x$	\cot x
$\arcsin x$	\arcsin x
$\arccos x$	\arccos x
$\arctan x$	\arctan x
$\sinh x$	\sinh x
$\cosh x$	\cosh x
$\tanh x$	\tanh x

1
2
3
4
5
6


> cos(0)
[1] 1
> cos(pi/2)
[1] 6.123234e-17
> cos(pi)
[1] -1

ギリシャ文字（greek letters）

出力	$\TeX$	出力	$\TeX$	読み方
$A$	A	$\alpha$	\alpha	アルファ
$B$	B	$\beta$	\beta	ベータ
$\Gamma$	\Gamma	$\gamma$	\gamma	ガンマ
$\Delta$	\Delta	$\delta$	\delta	デルタ
$E$	E	$\epsilon$	\epsilon	イプシロン
$Z$	Z	$\zeta$	\zeta	ゼータ
$H$	H	$\eta$	\eta	イータ
$\Theta$	\Theta	$\theta$	\theta	シータ
$I$	I	$\iota$	\iota	イオタ
$K$	K	$\kappa$	\kappa	カッパ
$\Lambda$	\Lambda	$\lambda$	\lambda	ラムダ
$M$	M	$\mu$	\mu	ミュー
$N$	N	$\nu$	\nu	ニュー
$\Xi$	\Xi	$\xi$	\xi	クシー
$O$	O	$o$	o	オミクロン
$\Pi$	\Pi	$\pi$	\pi	パイ
$P$	P	$\rho$	\rho	ロー
$\Sigma$	\Sigma	$\sigma$	\sigma	シグマ
$T$	T	$\tau$	\tau	タウ
$\Upsilon$	\upsilon	$\upsilon$	\upsilon	ユプシロン
$\Phi$	\Phi	$\phi$	\phi	ファイ
$X$	X	$\chi$	\chi	カイ
$\Psi$	\Psi	$\psi$	\psi	プシー
$\Omega$	\Omega	$\omega$	\omega	オメガ

変数

出力	$\TeX$	読み方
$\varepsilon$	\varepsilon	イプシロン
$\vartheta$	\vartheta	シータ
$\varrho$	\varrho	ロー
$\varsigma$	\varsigma	シグマ
$\varphi$	\varphi	ファイ

数列（sequence）

$$ x = \{1, 2, 3\} $$

指数（exponential）

出力	$\TeX$
$\exp x$	\exp x

指数関数のグラフ。

定義域（domain）
- (-∞,∞)
値域（range）
- (0,∞)

1
2
3
4
5
6


> exp(1)
[1] 2.718282
> exp(0)
[1] 1
> exp(2)
[1] 7.389056

ネイピア数はexp(1)で表現する

1
2
3
4


> exp(1)^2
[1] 7.389056
> 10^2
[1] 100

級数（series）

$$ s = \sum_{i=0}^{n}x_i $$

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12


> seq(1,10,length=5) #1~10を5分割で
[1] 1.00 3.25 5.50 7.75 10.00
> seq(1,10,by=2) #1から2ずつやして10まで
[1] 1 3 5 7 9

> rep(1:3,times=2) #(1,2,3)を2回
[1] 1 2 3 1 2 3
> rep(1:3,length=5) #(1,2,3)を5個になるまで繰り返す
[1] 1 2 3 1 2
> seq(as.Date("2016-01-01"),as.Date("2016-01-05"),by="day")
[1] "2016-01-01" "2016-01-02" "2016-01-03" "2016-01-04"
[5] "2016-01-05"

区間（interval）

開区間

$$ x = (1, 2, 3) $$

閉区間

$$ x = [1, 2, 3] $$

ベクトル（vector）

$$ \vec{a} = \mathbf{a} = (1, 2)^T $$

出力	$\TeX$
$\vec{x}$	\vec{x}
$\overrightarrow{x} $	\overrightarrow{x}
$\hat{x}$	\hat{x}

1
2
3
4
5


> vec <- c(1,2,1,2,3,4,1,2,3)
> vec
[1] 1 2 1 2 3 4 1 2 3
> vec[3]
[1] 1

累乗/冪乗（power）

表記

出力	$\TeX$
$e^x$	e^x

累乗と冪乗の違い

乗	意味
累乗	指数部が自然数
冪乗	指数部が実数

対数（Logarithm）

出力	$\TeX$
$\log x$	\log x
$\log_a x$	\log_a x
$\ln x$	\ln x

対数関数のグラフ。

定義（domain）
- (0,∞)
値域（range）
- (-∞,∞)

常用対数と自然対数

-	正式表記	省略表記	別表記
自然対数（底=e）	$log_{e} x$	$log x$	$ln x$
常用対数（底=10）	$log_{10} x$	$log x$	-
ニ進対数（底=2）	$log_{2} x$	-	$lg x$
指数関数	$e^x$	-	$exp(x0$

対数は、底（base）$a$と真数（antilogarithm）$x$を使って $log_a x$ と書くのが正式な表記。

ちなみに、Rにはネイピア数の定数はないので、exp(1)を使う必要がある

1
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> e <- exp(1)
> e
[1] 2.718282
> log(e)
[1] 1
> log(1)
0
> log2(8)
[1] 3

累乗根（root）

出力	$\TeX$
$\sqrt{x}$	\sqrt{x}
$\sqrt[n]{x}$	\sqrt[n]{x}

平方根（Square Root）
- The square root of x

$$ \sqrt{x} $$

立方根（Cube Root)
- The cube root of x

$$ \sqrt[3]{x} $$

N-th根
The n-th root of n

$$ \sqrt[n]{x} $$

行列（matrix）

集合は小文字、行列は太字。

$$ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

1
2
3
4
5


> x <- matrix(1:8, ncol=4)
> x
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 3 5 7
[2,] 2 4 6 8

データフレーム (行列にヘッダをつけたもの)

 1
 2
 3
 4
 5
 6
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 9
10
11
12
13


> sex <- c("F","F","M","M","M")
> height <- c(158,162,177,173,166)
> weight <- c(51,55,72,57,64)
> x <- data.frame(SEX=sex, HEIGHT=height, WEIGHT=weight)
> x
 SEX HEIGHT WEIGHT
1 F 158 51
2 F 162 55
3 M 177 72
4 M 173 57
5 M 166 64
> x$SEX
[1] "F" "F" "M" "M" "M"

極限（limit）

出力	$\TeX$
$lim_{n \to \infty}$	lim_{n \to \infty}

微分（derivative）

微分・勾配記号（derivative symbol）

出力	$\TeX$
$\nabla$	\nabla
$\partial$	\partial

1次微分

$$ \dot x = x^{\prime} = dx/dt=\frac{d x(t)}{d t}=\frac{d}{d t}\left(x(t)\right), $$

2次微分

$$ \ddot x = x^{\prime \prime} = d^{2}x/dt^{2}=\frac{d^{2} x(t)}{d t^{2}}=\frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(x(t)\right), $$

偏微分

$$ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} =\partial_{x}f(x,y)=f_{x}(x,y), $$

積分（Integral）

$$ \int f(x)dx, \ g(x)=\int^{x} f(x’)dx’, \ \int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx. $$

面積分（surface integral）

$$ \int\int_{S} f(x,y) , \mathrm{d}x , \mathrm{d}y $$

線積分（line integral）

$$ \quad \oint_{C} f(z){\rm d}z $$

組合せ（combination）

組み合わせ（combination）
順列（permutation）
斉次積（Homogeneous product）

出力	$\TeX$
${}_nC_r$	{}_nC_r
${}_nH_r$	{}_nH_r
${}_nP_r$	{}_nP_r

階乗（factorial）

$$ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 $$

まとめ

数字は民主的であり、証明は理路整然とした論理を求める
外国人にも伝わりやすいし、日常会話でも序数で条件を挙げると納得されやすい
故に正しく使って効率良くコミュニケーションを取るのが大事

参考文献

行列の計算について備忘録

Tue, 09 Jan 2024 13:47:52 +0900

概要

あるコードのコサイン類似度の計算について疑問に思ったので備忘録もかねてメモ

実際のコード

間違ったコード

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import numpy as np

vectors = np.array([[1, 2, 3], [1, 2.5, 3]])
norms = np.linalg.norm(vectors, axis=1)
numer = np.dot(vectors, vectors.T)
denom = np.linalg.norm(vectors, axis=1) ** 2
cosine_similarities = numer / denom
print(cosine_similarities)

結果

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[
 [1, 0.92307692],
 [1.07142857, 1]
]

正しいコード

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6
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8


import numpy as np

vectors = np.array([[1, 2, 3], [1, 2.5, 3]])
norms = np.linalg.norm(vectors, axis=1)
numer = np.dot(vectors, vectors.T)
denom = np.outer(norms, norms)
cosine_similarities = numer / denom
print(cosine_similarities)

結果

1
2
3
4


[
 [1, 0.98974332],
 [0.98974332, 1]
]

記法

ベクトルは縦（列）が基本。好みにもよるが、次の書き方をする。

太字記法（Bold Notation）
- $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$
矢印記法（Arrow Notation）
- $\vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \ \dots \ v_n \end{bmatrix}$

内積（dot product）と外積（cross product）

内積と外積の戻り値

用語	意味
内積	2本のベクトルに対してスカラーを対応させる演算
外積	2本のベクトルに対してベクトルを対応させる演算

幾何学的意味

用語	意味
内積	$\|\overrightarrow{a}\|\|\overrightarrow{b}\|\cos\theta$の大きさを持つスカラ値
外積	長さが$\|\overrightarrow{a}\|\|\overrightarrow{b}\|\sin\theta$で、$\vec{a}$と$\vec{b}$に垂直なベクトルのこと

ただし、$\theta$はベクトルaとbのなす角
cosは横/斜めなので、$|\overrightarrow{a}||\cos\theta$ は$|\overrightarrow{b}|$方向の正射影のベクトルを意味する

代数的意味

用語	意味
内積	$\vec{\ a\ }\cdot\vec{\ b\ }=a_1b_1+a_2b_2$のスカラ値
外積	$\vec{a} \times \vec{b} = (a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)$ という成分で表されるベクトル

大きさの意味

用語	意味
内積	$\vec{a}$の正射影と$\vec{b}$の積の大きさ
外積	$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす平行四辺形の積の長さを持つベクトル

記号的な違い

用語	記号1	記号2	記号3
内積	$\langle \textbf{a}, \textbf{b} \rangle$	$\vec{a} \cdot \vec{b}$	$\textbf{a}^{T} \textbf{b}$
外積	$[\textbf{a}, \textbf{b}]$	$\vec{a} \times \vec{b}$	$\textbf{a}\textbf{b} ^{T}$（※これは外積ではなく直積(outer product)なので注意）

行列の積

演算	日本語	英語
$AB$	行列の積	matrix product / Matrix multiplication
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$	内積, スカラー積（ドット積）	dot product, inner product
$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$	外積, ベクトル積（クロス積）	cross product
$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b}$	直積, テンソル積	outer product
$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$	楔積, ウェッジ積	wedge product
$\mathbf{A} \otimes \mathbf{b}$	クロネッカー積	kronecker product
$\mathbf{a} \odot \mathbf{b}$	要素ごとの積、アダマール積/シューア積	Hadamard product/Schur product / element-wise product
$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$	スカラー三重積	scalar triple product
$\mathbf{A} : \mathbf{B}$	フロベニウス積, フロベニウス内積	Frobenius inner product

NOTE:

クロネッカー積と直積のオペレーターは同じ
- オペランド:
  - クロネッカー積の場合は左オペランドは行列
  - 直積の場合はベクトル
外積≠outer productなので注意!
- numpyでも次の関係
  - 外積: np.cross
  - 直積: np.outer
行列の積
- 行列の積は結果の対応する要素の内積
  - 左のオペランドの行と右のオペランドの列の要素の積の総和をとるもの
- numpy.dotでも引数が行列だと行列の積になる

内積

$$ inner\ product:\ {\bf a}\cdot {\bf b} $$ $$ \hspace{50px}{\bf a}\cdot {\bf b}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i b_i $$

外積

$$ cross\ product:{\bf a}\times {\bf b}\\ $$

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \\ \end{pmatrix} $$

直積（テンソル積）

$$ {\left(\begin{matrix}a\\ b\\ c\end{matrix}\right)\otimes\left(\begin{matrix}d\\ e\\ f\end{matrix}\right) \\ =\left(\begin{matrix}a\otimes\left(\begin{matrix}d\\ e\\ f\end{matrix}\right)\\ b\otimes\left(\begin{matrix}d\\ e\\ f\end{matrix}\right)\\ c\otimes\left(\begin{matrix}d\\ e\\ f\end{matrix}\right)\end{matrix}\right) \\ =\left(\begin{matrix}ad&ae&af\\ bd&be&bf\\ cd&ce&cf\end{matrix}\right)} $$

テンソル積を使わない場合

$$ {\begin{align} \left(\begin{matrix}a\\ b\\ c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d&e&f\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}a\left(\begin{matrix}d&e&f\end{matrix}\right)\\ b\left(\begin{matrix}d&e&f\end{matrix}\right)\\ c\left(\begin{matrix}d&e&f\end{matrix}\right)\end{matrix}\right) &=\left(\begin{matrix}ad&ae&af\\ bd&be&bf\\ cd&ce&cf\end{matrix}\right) \end{align} } $$

※右オペランドは横行列

ウェッジ積

$$ \vec{a}\wedge\vec{b}:=\vec{a}\otimes\vec{b}-\vec{b}\otimes\vec{a} $$

つまりは、オペランドを反転した2つのテンソル積の差

クロネッカー積

$A$は$m \times n$の行列で、$A$の$ij$成分を $Aij$とすると、

$$ A\otimes B=\begin{pmatrix} A_{11}B&A_{12}B&\cdots&A_{1n}B\\ A_{21}B&A_{22}B&\cdots&A_{2n}B\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{m1}B&A_{m2}B&\cdots&A_{mn}B \end{pmatrix} $$

例)

$$ A=\begin{pmatrix}1&2\\ 3&4\end{pmatrix} $$ $$ B=\begin{pmatrix}5&6\end{pmatrix} \\ A\otimes B=\begin{pmatrix}5&6&10&12\\ 15&18&20&24\end{pmatrix} $$

アダマール積

$$ \left({\begin{array}{cc} \\ a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32}\\ \end{array}}\right) \odot \left({\begin{array}{cc} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\\ b_{31}&b_{32} \\ \end{array}}\right) = \left({\begin{array}{cc} a_{11},b_{11}&a_{12},b_{12}\\ a _{21},b _{21}&a _{22},b _{22}\\ a _{31},b _{31}&a _{32},b _{32} \\ \end{array}}\right) $$

ノルム（norm）

長さの概念を一般化したもの

$n$次元ベクトル$\vec{x}=(x_1,x_2,⋯,x_n)$ および $1≤p<∞$ なる$p$に対して $\vec{x}$ の $L^p$ ノルムと言い，$||\vec{x}||_p$と書く。

$$ \sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots +|x_n|^p} = (|\vec{x}|^{p})^{\frac{1}{p}} = ||\vec{x}||_{p} $$

ノルムは2本パイプで囲うので注意

ノルム	式
ユークリッドノルム（絶対値）	$\|x\|$
ノルム	$\|\|x\|\|_{p}$

ノルムの呼び名

ノルム	式
L1（マンハッタン距離）	$\|x_1\|+\|x_2\|+\cdots +\|x_n\|$
L2（ユークリッド距離距離）	$\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$

マンハッタン郷里では、図中の赤も青も緑も同じ値となる

ノルムの例

NOTE: 等高線なので値の大きさを表している。なので、色が重要

L1ノルム

$$ {| {\bf x} |_1 = |x_1| + |x_2| } $$

L2ノルム

$$ {| {\bf x} |_2 = \sqrt{|x_1|^2 + |x_2|^2} } $$

単位円

二次元ベクトルに対してノルムが1になる時の単位円を図示すると、 $$ ||\overrightarrow{x}||_p=1 $$

軸に張り付いていない場合は、pが大きくなるほど、ノルムが小さくなる。

$$ \vec{x} = \{2, 2\} \\ ||\vec{x}||_1 = 2 + 2 = 4 \\ ||\vec{x}||_2 = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \sim 2.828 \\ ||\vec{x}||_3 = {2^3 + 2^3}^{1/3} = {16}^{1/3} \sim 2.519 \\ $$

軸に張り付いている場合は、ノルムは値になる。

$$ \vec{x_2} = \{3, 0\} \\ ||\vec{x_2}||_1 = 3 + 0 = 3 \\ ||\vec{x_2}||_2 = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \\ ||\vec{x_3}||_2 = (3^3 + 0^3)^{1/3} = 27^{1/3} = 3 \\ $$

ユークリッド距離

ユークリッド距離=原点を平均とする二乗和平方根の事。

$$ ||\vec{x}||_2 = \\ \sqrt{(x_1 - 0)^2+(x_2 - 0)^2+\cdots +(x_n - 0)^2} $$

分散（二乗平均平方根）が平均偏差（絶対偏差）と比べて優れている点は、分散はベクトルの距離を示しているため。

トレース

ある正方行列Aに対して、対角成分の和をAのトレース(tr A)という

例

$$ A=\begin{pmatrix}2&4\\-1&3\end{pmatrix} \\ tr A = 5 $$

次元

線形空間$V$の基底を構成するベクトルの個数のことをいい、次のように表現する。

$$ dim V $$

例

例えば、xy平面は「x軸ベクトル＆y軸ベクトル」の2つのベクトルで基底をなすので、次元は2となる。

コサイン類似度（Cosine similarity）

二つのベクトル $\vec{a}=(a_1,a_2,⋯,a_n)$ と $\vec{b}=(b_1,b_2,⋯,b_n)$ に対して、次をコサイン類似度という。

$$ \dfrac{a_1b_1+\cdots +a_nb_n}{\sqrt{a_1^2+\cdots +a_n^2}\sqrt{b_1^2+\cdots +b_n^2}} $$

コサイン類似度＝２つのベクトルのなす角のコサイン
値域は[0,1]
直角の場合は0

分子は内積、分母はベクトルの絶対値の積なので、２つのベクトルの$cos \theta$を求めることに等しい

$$ \dfrac{a_1b_1+\cdots +a_nb_n}{\sqrt{a_1^2+\cdots +a_n^2}\sqrt{b_1^2+\cdots +b_n^2}} = \frac{\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{|\vec{a}||\vec{b}| cos \theta }{|\vec{a}||\vec{b}|} = cos \theta $$

行列式

ある行列Aについて

$$ A=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right) $$

行列式Aは

$$ det A = |A|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} $$

単位行列は

$$ det I = |I| = 1 $$

行列式のやりかた

方法	制約
サラスの方法（Sarrus’ rule）	3次元までOK
余因子展開（cofactor expansion）	4次元以上もOK

ランク

ランク（階数，rank）は任意の行列に対して定義された量
いくつかの意味を持つ

Aの正則（行列式が0でない）な小行列でサイズが最大なもののサイズ
- つまり、ある行列Aの小行列で、最もサイズが大きいもののサイズ
Aの一次独立な行ベクトルの最大本数
Aの一次独立な列ベクトルの最大本数
階段行列にしたときに 0でない成分が残る行の数
ランク標準形にしたときに 1 が並ぶ数
Aの像の次元
Aの0でない特異値の数（$AA^{⊤}$ の0でない固有値の数）

フルランク

ある$m \times n$の行列で、次の条件が当てはまるとき、フルランクと呼ぶ。

$$ rank(A) = min(m, n) $$

核（Kernel）と像（Image）

ある線形写像$F: U \rightarrow V$に置いて、次のように定義された部分集合

$ker(F) = \{u ∈ U | F(u) = 0\} ⊂ U$
$im(F) = \{F(u) | u ∈ U\} ⊂ V$

※ ⊂は部分集合、 ∈は要素記号

カーネル

カーネルはゼロベクトルにつぶれてしまう、写る前の集合（U）の部分集合のこと。
- つまり、ゼロベクトルに潰れてしまう元を寄せ集めたもの
- 「0以外のものも0に写る」場合，それは「この写像は単射ではない」ということになる。
  - なぜなら、0を出力するための入力値が複数あるので，入力と出力が１対１対応ではなくなるため。
カーネルが 0 以外の要素を含めば
- 「単射ではない」「ランク落ちしている」「行列式は 0 」などの有用な結論を引き出せる。
カーネルは「単射からのずれ具合」

固有値問題について

固有値問題は「カーネルを求める作業」。
行列式を０とおく理由は，カーネルに０以外の要素が含まれるから
行列Aに関する固有値問題は，$（A-λE）＝０$と書くことができ，
この式は「ある写像の結果，入力ｘがゼロに写る」という関係を表す。

イメージ

Im は「出力の取りうる幅」のこと。写した後の集合(V)の部分集合。
rankの実体
それに対し，Im は「出力の取りうる幅」のこと。
入力ではなく，出力に注目した情報である。
$y = A x$ で，出力 y が取りうる領域のこと。

$$ \mathrm{rank:A}=\dim (\mathrm{Im} :A) $$

次元定理

m x n の行列Aに置いて、つぎの式が成り立つこと

$$ \mathrm{rank}:A+\dim (\mathrm{Ker}:A)=n $$

行列の種類

本当はもっと色々あるが、分かりやすいのは以下。