概要

統計でよくみる正規分布の式
平均値の周りにランダムに分布するという式
その意味を分解して説明する

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{(x - \mu)^2} {2\sigma^2} \right) \hspace{20px} (-\infty < x < \infty) $$

正規分布の条件

正規分布の目的（条件）は次の4つ。

ピークが1つ
ピークを中心に左右対称
指数関数の速さで0に漸近
面積は1

条件の内訳

ピークが1つ

平均値 $\mu$ を中心にした分布であり、データが最も集中している場所を示す
つまり、平行移動すればOK

ピークを中心に左右対称

正と負で対象にしたいので、二乗すればOK
つまり、$(x - \mu)^2$

指数関数の速さで0に漸近

ゼロに漸近なので、$\frac{1}{x}$で
2の条件を適用すると、$\frac{1}{x^2}$
ただし、x=0 => エラーになってしまうので、$\frac{1}{x^2+1}$
ただし、リアルの分布は端になるほど急にしなければいけない
- 例) サイコロをn回振った時の分布だと$(\frac{1}{6})^n$で、反比例の傾きだと弱い
  - $\frac{1}{x}$でも$\frac{1}{x^2}$でも逆数は遅い
  - $(\frac{1}{a})^x$のような指数の方が早い
  - $a$は関数のパラメーター
- サイコロのように試行=指数関数的に作用する
$(\frac{1}{a})^n = a^{-n}$になる
それらを加味すると次になる
- $\frac{1}{e^{(x-\mu)^2}} = e^{-(x - \mu)^2}$
  - $(x - \mu)$だけずらすのは、1の条件のため
  - $(x - \mu)^2$乗するのは、2の条件のため
  - $a^{-(x - \mu)^2}$乗するのは、3の条件のため

原型としては、次となる。

$$ \frac{1}{a^{(x-\mu)^2}} = a^{-(x - \mu)^2} $$

面積は1

面積を面積で割れば1となるので、それを利用するため面積の式を求める
面積は次の式となる

$$ f(x) = \frac{1}{a^{(x-\mu)^2}} = a^{-(x - \mu)^2} \\ s = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx $$

単純化するために
- 定数の$\mu$は一旦無視する
- aはある定数とする
積分するため、底をaからeに書き直す
目的関数はf(x)

$$ f(x) = a^{-x^2} \\ a = e^{\log a} \\ f(x) = e^{(\log a)^{-x^2}} \\ f(x) = e^{\log a \times -x^2} \\ A = \log a \\ f(x) = e^{A \times -x^2} \\ f(x) = a^{-x^2} = e^{-A x^2} = e^{- \log a \times x^2} \\ $$

最後の行はを積分すると、下のようになる。

$$ \int f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-Ax^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{A}} $$

下にガウス積分の公式を示す。

$$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}} $$

この面積を逆数にして、もともとの関数にかければ結果が1になるので、下のようになる。

$$ \sqrt{\frac{A}{\pi}} e^{-A x^2} $$

最後条件1を満たすために、平行移動（$B$）の定数を入れると次になる。

$$ f(x) = \sqrt{\frac{A}{\pi}} e^{-A (x -B)^2} $$

条件1, 2, 3, 4を満たした、正規分布の原型の式が完成する
この原型の変数AとBを調整する方法は次
- 5. ヒストグラムから計算された平均と分散と、この原型の式から計算された平均と分散が一致すること。
という条件5を満たすAとBを探す

Bのパラメータ

Bの方は単純に平均を当てればOK。

Aのパラメータ

Aの方は単純から計算すればいい
Bは既に$\mu$としてわかっている
- NOTE: $f(x)$は確率が戻り値
分散は次を満たせばいい

$$ var = \sigma^2 = V(X) = \int (x - B)^2 f(x) dx \\ $$

Bは定数で面積に影響がないので、0と置くと以下になる。

$$ var = \sigma^2 = \int x^2 f(x) dx \\ var = \sigma^2 = \int x^2 \sqrt{\frac{A}{\pi}} e^{-A x^2} dx \\ $$

係数を前に出すと次になる。

$$ var = \sigma^2 = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \int x^2 e^{-A x^2} dx $$

次のガウス積分の公式に当てはめられる。

$$ \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n}e^{-ax^2}dx =\dfrac{(2n-1)!!}{2^na^n}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}} $$

今回はn=1なので次になる。

$$ \int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{2a}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}} $$

つまり、次となる。

$$ var = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \frac{1}{2A} \sqrt{\frac{\pi}{A}} $$

よって以下となる。

$$ var = \sigma^2 = V(X) = \frac{1}{2A} $$

結果は分散=$\frac{1}{2A}$
つまり、$\frac{1}{2A}$の$A$に逆$\frac{1}{2 \sigma^2}$を仕込めば、
結果は$var = \sigma^2$になる
つまり、$A=\frac{1}{2 \sigma^2}$となる

4つの条件のまとめ

これらの定数AとBを正規分布の原型に当てはめると、完成する。

$$ A = \frac{1}{2 \sigma^2}, \; B = \mu \\ f(x) = \sqrt{\frac{A}{\pi}} e^{-A (x -B)^2} \\ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{(x - \mu)^2} {2\sigma^2} \right) \hspace{20px} $$

正規分布の変曲点について

上の$f(x)$を二回微分した関数の傾きが0になるところを求めると$f''(x)=0$
$x = \mu \pm \sigma$ となる
つまり、傾きが凸から凹に変わる傾き=0の点が$\mu \pm \sigma$ということ
また、正規標準分布の場合は平均は1、SDは1になるので、1の地点で凹凸の変曲点となる

まとめ

正規分布の式は、次のように導かれる。

分散 $\sigma^2$ と平均 $\mu$ を用いて、データの分布の広がりと中心を調整する
式内の $\exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ 部分は、データが平均から離れるほど値が小さくなることを示しており、分布が急速に0に近づくことを表す
分布の全体の面積を1に保つため、$\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}$ で正規化される

正規分布の公式の意味

目次

概要